Математическое моделирование поведения неидеальных сред с границами раздела в природных и технических системах

Объектом исследования по теме проекта являются процессы, происходящие в природных и технических системах с границами раздела. Цель исследований состоит в развитии методов математического и численного моделирования задач с поверхностями раздела на основе неклассических моделей механики сплошных сред: разработка новых нелинейных математических моделей, построение и исследование точных решений; анализ их устойчивости; разработка вычислительных алгоритмов и комплексов программ для решения фундаментальных и прикладных задач; выработка рекомендаций по аспектам функционирования технических объектов и природных систем. Заключительный отчет содержит описание результатов выполнения темы проекта в 2021–2023 гг. На этапе 2021 года разработан комплекс программ для расчета и визуализации движений жидкости с деформируемыми границами; построены новые автомодельные решения уравнений полуэмпирических моделей турбулентного слоя смешения, новые решения интегрируемых моделей Буссинеска, новые классы точных решений уравнения неоднородной акустики; выполнена групповая классификация нелинейных уравнений тепломассопереноса, на основе которой получены новые точные решения. Проведена серия прогнозных расчетов для течений в соленых озерах типа оз. Шира на основе трехмерной модели. Создан программный модуль для прогноза глубины оттаивания и составления карт температурного режима в районах вечной мерзлоты. Построена математическая модель нестационарного поведения жидкого кристалла под действием слабых механических, температурных возмущений и воздействия электрическим полем. На ее основе разработана вычислительная технология, включающая в себя параллельные алгоритмы и компьютерные программы. Получены результаты моделирования эффекта Фредерикса в рамках уравнений динамики жидкого кристалла. Разработаны вычислительные алгоритмы и компьютерные программы для решения статических задач. В области геодинамики и геофизики получены результаты моделирования данных наблюдений природных катастроф и пространственно-временные зависимости на основе спутниковых данных о гравитационных аномалиях Земли. Получены результаты статистического сравнительного анализа изменений параметра EWH (Equivalent Water Height – эквивалентной высоты воды) для акваторий Мирового океана по наблюдениям миссии GRACE и новой миссии GRACE-FO. На этапе 2022 года исследована структура непрерывных алгебр Ли для полученных спецификаций сил плавучести. Построены классы бесконечномерных групп Ли, допускающих каноническую структуру, и классы точных обобщенных функционально-инвариантных решений волнового уравнения. Построены карты режимов течений и устойчивости в двухслойных системах в пространстве физических параметров. Построены карты температурного режима в болотно-озерных ландшафтах вечной мерзлоты. Исследованы трехмерные гидродинамические режимы в озере Шира. Созданы расчетные методики, включающие описание алгоритмов и программ для решения квазистатических задач механики анизотропных слоистых пластин и оболочек из композитных материалов. Проведена апробация методик при решении инженерных задач. Построены определяющие уравнения многослойных упругих и вязкоупругих микрополярных пластин и оболочек, учитывающие микроструктуру материала. В задачах динамики пластин разработаны параллельные вычислительные алгоритмы, основанные на методе двуциклического расщепления по пространственным переменным, и компьютерные программы с распараллеливанием вычислений для суперкомпьютеров графической архитектуры. В рамках работ по научному направлению, связанному с методами решения задач безопасного функционирования природных и технических систем, построена численная оценка не изменяющихся множеств решений, наибольших для поставленной задачи. Вычислен разброс элементов этих множеств, получена оценка областей притяжения решений и показателей Ляпунова. Разработан метод определения точек пространства параметров, в которых нарушается хотя бы один из критериев устойчивости. Разработан метод построения границ, на которых некоторые параметры являются критическими. Выполнена программная реализация методов оценки устойчивости множеств решений, определения граничных и предельных траекторий математических моделей природных и технических систем с возмущающими и управляющими воздействиями. В 2023 году получены следующие новые результаты. В рамках новых постановок начально-краевых задач построены точные решения, описывающие движения жидких сред с границей раздела в условиях приложенной распределенной тепловой нагрузки. Развита теория новых линейных определяющих уравнений применительно к задачам механики жидкости. Построены классы точных обобщенных функционально-инвариантных решений волнового уравнения. Получено приближенное решение в задаче о свободной осесимметричной турбулентной струе. Реализованы программы для расчета конвективных режимов в системах разной геометрии и вычисления пороговых характеристик устойчивости, построены карты режимов устойчивости 2D и 3D конвективных течений. Выполнено моделирование годового хода температуры вечной мерзлоты в зимний и летний периоды в болотно-озерных ландшафтах. Исследованы гидродинамические режимы глубоководных водоемов. Разработаны математические модели для описания зарождения и продвижения трещин в межблочных прослойках на основе локального и интегрального критериев трещинообразования. Созданы вычислительные алгоритмы и программы, реализующие эти модели на многопроцессорных системах кластерной архитектуры. Проведены расчеты распространения системы трещин по мере прохождения волн нагружения в блочном массиве горных пород. По направлению геомониторинга усовершенствована вычислительная технология вероятностного анализа сейсмической опасности, разработано алгоритмическое и программное обеспечение для расчета параметров модели сейсмического воздействия. Получены результаты исследования моделей в задачах сейсмического мониторинга природных и технических объектов.