Математическое моделирование и численный анализ вихревых и конвективных структур

В диссертации методами математического моделирования проведено исследование возникновения и развития неоднородных стационарных и нестационарных структур жидкости, их свойств, применительно к ряду актуальных проблем гидродинамики. Рассмотрены математические модели вихревой динамики невязкой несжимаемой жидкости и конвекции в пористой среде, обладающие специфическими свойствами (отсутствие вязкости, консервативность, косимметрия, мультистабильность). Разработаны вычислительные методы решения нестационарных задач динамики жидкости на основе спектральных и бессеточных аппроксимаций и основанные на них алгоритмы качественного анализа вихревых и конвективных структур. Созданы программные комплексы для многопроцессорных вычислительных кластеров для исследования рассмотренных задач динамики жидкостей с помощью вычислительного эксперимента. Изучены вихревые и конвективные структуры, их бифуркации и реализация при протекании идеальной жидкости сквозь прямоугольный канал, в геофизических течениях с учётом планетарного вращения, при развитии конвекции Дарси. В области математического моделирования: Исследована математическая модель динамики идеальной жидкости с условиями Юдовича, описывающая новые стационарные и периодические во времени вихревые структуры с застойными зонами в задаче протекания сквозь прямоугольный канал. Проведен их параметрический анализ, исследована устойчивость, изучены новые сценарии возникновения автоколебаний. Для моделирования вихревых взаимодействий предложены вычислимые критерии диагностики качественных перестроек и условной устойчивости вихревых конфигураций. С их использованием изучено влияние планетарного вращения на взаимодействие вихревых структур на примере наборов распределенных вихрей одинаковой интенсивности. На основе математической модели фильтрационной конвекции с законом трения Дарси исследованы однопараметрические семейства стационарных режимов в широком диапазоне параметров (фильтрационного числа Релея и размеров контейнера). Выяснено, что потеря устойчивости на семействе может быть колебательной и монотонной, исследованы новые бифуркации семейств как инвариантных множеств (распад, пересечение, слияние), изучены новые сценарии возникновения автоколебаний. С помощью компьютерного моделирования изучена реализация финальных состояний в условиях мультистабильности для задачи фильтрационной конвекции. Установлены нетривиальные механизмы отбора режимов, принадлежащих устойчивому однопараметрическому семейству. Результаты математического моделирования распада семейства стационарных режимов в задаче фильтрационной конвекции при наличии внутренних источников тепла. Обнаружен новый бифуркационный сценарий возникновения релаксационных колебаний. В области численных методов: Разработан новый спектрально-вихревой бессеточный метод расчёта нестационарных течений невязкой несжимаемой жидкости. Метод реализован для решения следующих задач: динамики жидкости в квадратной замкнутой области; течений в прямоугольном канале с условиями Юдовича; анализа вихревой динамики с учетом планетарного вращения. Разработан метод решения нестационарной задачи фильтрационной конвекции и анализа однопараметрических семейств стационарных конвективных режимов на основе глобального метода Бубнова-Галёркина. Метод включает алгоритмы продолжения по скрытому параметру кривых равновесий, исследования устойчивости режимов, влияния разрушения косимметрии и исследования механизмов реализации финальных состояний в случае мультистабильности. Разработаны численные методы качественного анализа структур жидкости. Методы основаны на подходах теории динамических систем и включают поиск стационарных и периодических режимов, вычисление показателей Ляпунова, алгоритмы анализа устойчивости течений. Проведен анализ методов решения задачи Коши для нелинейных систем дифференциальных уравнений, возникающих при дискретизации в пунктах 1) и 2). На основе анализа предложены рекомендации по выбору оптимальных методов интегрирования косимметричных динамических задач и систем, описывающих движение жидких частиц. В области программного обеспечения: На основе разработанного спектрально-вихревого метода решения нестационарных задач динамики невязкой несжимаемой жидкости создан алгоритм для многопотоковых компьютеров. Алгоритм реализован в виде комплекса программ SpVrt на языке C++ с использованием технологии OpenMP. На основе метода Бубнова-Галёркина решения нестационарной задачи фильтрационной конвекции разработан алгоритм для многопроцессорных кластеров. Алгоритм реализованы в виде комплекса программ на языке C++ с использованием технологии MPI. Реализован комплекс программ численного анализа динамических систем для пакета Matlab. Комплекс включает модуль для построения однопараметрических семейств равновесий систем с косимметрией, функцию вычисления спектра показателей Ляпунова, функции интеграторов высокого порядка точности.